Основная теорема об уравнении плоскости

Пусть в пространстве задана произвольная система координат. Тогда всякая плоскость может быть задана некоторым уравнением вида $$Ax + By + Cz + D = 0,~~~ A \neq 0 \lor B \neq 0 \lor C \neq 0$$ Обратно, любое уравнение $$Ax + By + Cz + D = 0,~~~ A \neq 0 \lor B \neq 0 \lor C \neq 0$$ задаёт некоторую плоскость.

Пусть задана система координат с началом в $O$, $\sigma$ - плоскость, $M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ - точка плоскости $\sigma$, $\vec{a_{1}} = (q_{1}, r_{1}, s_{1}), \vec{a_{2}} = (q_{2}, r_{2}, s_{2})$ - направляющие вектора, не коллинеарные между собой, $M(x,y,z)$ - произвольная точка пространства. Обозначим радиус-вектор точки $M_{0}$ через $\vec{r_{0}}$, а радиус-вектор $M$ - $\vec{r}$. $M \in \sigma \iff \overrightarrow{M_{0}M} \parallel \sigma$. $\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}$ - базис $\sigma$. Если $\overrightarrow{M_{0}M} \parallel \sigma$, то по теореме о разложении вектора по базису плоскости: $\exists{u, v}~~ \overrightarrow{M_{0}M} = u\vec{a_{1}} + v\vec{a_{2}}$ (очевидно и обратное). Поскольку $\vec{r} = \vec{r_{0}} + \overrightarrow{M_{0}M}$, получаем: $M \in \sigma \iff \vec{r} = \vec{r_{0}} + u\vec{a_{1}} + v \vec{a_{2}}$ (векторное уравнение плоскости) Расписав $\vec{r} = \vec{r_{0}} + u \vec{a_{1}} + v \vec{a_{2}}$ в координатах, получаем уравнение: $$\begin{cases} x = x_{0} + q_{1}u + q_{2}v \\ y = y_{0} + r_{1}u + r_{2}v \\ z = z_{0} + s_{1}u + s_{2}v \end{cases}$$ (параметрическое уравнение плоскости) Точка $M(x, y, z) \in \sigma \iff$ $\overrightarrow{M_{0}M} = (x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}), \vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}$ компланарны. Из замечания о координатах компланарных векторов вытекает, что это условие эквивалентно следующему: $$\begin{vmatrix} x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\ q_{1} & r_{1} & s_{1} \\ q_{2} & r_{2} & s_{2} \end{vmatrix} = 0$$ (каноническое уравнение плоскости) Разложим по первой строке: $$\begin{vmatrix} r_{1} & s_{1} \\ r_{2} & s_{2} \end{vmatrix} \cdot (x - x_{0}) - \begin{vmatrix} q_{1} & s_{1} \\ q_{2} & s_{2} \end{vmatrix} \cdot (y - y_{0}) + \begin{vmatrix} q_{1} & r_{1} \\ q_{2} & r_{2} \end{vmatrix} \cdot (z - z_{0}) = 0$$ Если обозначить: $$A := \begin{vmatrix} r_{1} & s_{1} \\ r_{2} & s_{2}\end{vmatrix},~~~ B := -\begin{vmatrix} q_{1} & s_{1} \\ q_{2} & s_{2}\end{vmatrix},~~~ C := \begin{vmatrix} q_{1} & r_{1} \\ q_{2} & r_{2}\end{vmatrix},~~~ D := -Ax_{0} - By_{0} - Cz_{0}$$ то можем переписать это равенство в виде: $$Ax + By + Cz + D = 0$$ Если $A = B = C = 0$, то $\dfrac{q_{1}}{q_{2}} = \dfrac{r_{1}}{r_{2}} = \dfrac{s_{1}}{s_{2}}$, что в силу критерия коллинеарности означает, что $\vec{a_{1}} \parallel \vec{a_{2}}$ вопреки их выбору. $\square$

Рассмотрим уравнение $Ax + By + Cz + D = 0,~~~ A \neq 0 \lor B \neq 0 \lor C \neq 0$. Без ограничения общности $A \neq 0$. Пусть $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ - произвольное решение уравнения, $\vec{a_{1}} := (-B, A, 0), \vec{a_{2}} := (-C, 0, A)$. Так как $A \neq 0 \Rightarrow \vec{a_{1}} \nparallel \vec{a_{2}}$. Обозначим через $\sigma$ плоскость, проходящую через точку $M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ коллинеарно $\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}$. Докажем, что $\sigma$ задаётся уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$. Запишем каноническое уравнение плоскости $\sigma$: $$\begin{vmatrix} x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\ -B & A & 0 \\ -C & 0 & A \end{vmatrix} = 0 ~~~~~~~~~~~(*)$$ Раскрываем определитель по первой строке: $$A^{2}(x-x_{0}) + AB(y-y_{0}) + AC(z - z_{0}) = 0$$ Разделим на $A \neq 0$: $$Ax + By + Cz - Ax_{0} - By_{0} - Cz_{0} = 0$$ Так как $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ - решение: $$Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D = 0 \Rightarrow -Ax_{0} - By_{0} - Cz_{0} = D$$ А значит $(*)$ равносильно $Ax + By + Cz + D = 0 ~~~ \square$